Marches aléatoires dans des cônes et asymptotiques // Asymptotics of walks in cones

Notre proposition de doctorat s'articule autour des questions générales suivantes : étant donné un ensemble (pondéré) de sauts S, un cône C et un point de départ x_0 dans C, déterminer le comportement asymptotique du nombre w_n de marches de longueur n dans C à partir de x_0. De plus, si w_n(x_0,x_1) désigne le nombre de marches de x_0 à x_1, un autre problème consiste à déterminer l'asymptotique de w_n(x_0,x_1) d'une manière qui soit uniforme en x_0 et/ou x_1.

On trouvera ci-dessous trois exemples de ces problèmes pour lesquels des progrès récents ont été réalisés et dont les techniques pourraient être utilisées et combinées pour généraliser ces résultats. Une caractéristique importante de la proposition de thèse est qu'elle a de fortes interactions et applications à la fois en combinatoire et en théorie des probabilités.

Probabilités de fuite : Si la somme des poids de l'ensemble des sauts est égale à 1, le modèle est naturellement associé à un modèle de marche aléatoire, dans lequel le poids de chaque étape correspond simplement à la probabilité d'effectuer cette étape. La limite de w_n lorsque n s'approche de l'infini est alors appelée probabilité de fuite, car il s'agit de la probabilité qu'une marche aléatoire reste à l'intérieur du cône.

L'article [Hoang, Raschel, Tarrago, 2023] donne des formules explicites pour la probabilité de fuite pour certains modèles bidimensionnels appelés singuliers. Par définition, ces modèles sont tels que le support de l'ensemble de pas S est contenu dans un demi-espace linéaire. Les modèles singuliers ont été introduits dans les travaux de Mishna et Rechnitzer [Mishna, Rechnitzer, 2009].

L'un des objectifs de cette thèse est de s'attaquer au même problème en dimension 3, c'est-à-dire d'étudier la probabilité d'échappement des marches aléatoires singulières tridimensionnelles. De tels modèles sont remarquablement difficiles à étudier. Conceptuellement, comprendre la dimension 3 revient à comprendre la dimension générale.

Asymptotique raffinée dans le quart de plan : En utilisant le couplage avec le mouvement brownien, Denisov et Wachtel ont déterminé l'asymptotique jusqu'au terme constant dans de nombreux cas [Denisov, Wachtel, 2015], en particulier ils ont déterminé le comportement asymptotique de w_n pour les marches avec une dérive nulle et l'asymptotique de w_n(x_0,x_0) dans tous les cas pour x_0 fixé. Néanmoins, plusieurs questions restent ouvertes, comme l'asymptotique de w_n dans certains cas avec dérive.

Nous proposons d'utiliser une méthode différente en cours de développement [Elvey Price, Fang, Wallner, 2021] pour déterminer des asymptotiques raffinées et uniformes de w_n(x_0,x_1). La première étape consisterait à déterminer une estimation asymptotique W_n(x_0,x_1) pour les nombres w_n(x_0,x_1), puis à utiliser une marche aléatoire pour approximer le rapport entre W_n et w_n, et à prouver qu'ils convergent uniformément vers 1 à mesure que n s'approche de l'infini.

Asymptotiques complètes pour les marches à petits pas : On peut aller au-delà de l'asymptotique du premier ordre et demander une asymptotique complète, par exemple
w_n=u^n*n^k(c_0+c_1/n+c_2/n^2+...+c_k/n^k +o(1/n^k)).
Pour certains modèles, l'asymptotique complète prend exactement cette forme [Melczer, Wilson, 2019], mais dans d'autres cas, il a été montré que des termes logarithmiques apparaissent [Elvey Price, Nessmann, Raschel, 2024]. Ce dernier résultat a été obtenu via une solution exacte du modèle utilisant la fonction thêta de Jacobi.

L'un des objectifs de la thèse est d'étendre ceci à toutes les marches à petits pas afin de déterminer exactement quels modèles admettent des termes logarithmiques dans leur asymptotique.
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Our PhD proposal is based around the following general questions: given a (weighted) set of steps S, a cone C, and a starting point x_0 in C, determine the asymptotic behaviour of the number w_n of walks of length n in C starting from x_0. Further, if we let w_n(x_0,x_1) denote the number of walks from x_0 to x_1, a further problem is to determine the asymptotics of w_n(x_0,x_1) in a way which is uniform on x_0 and/or x_1.

Below are three instances of these problems for which there have been recent advances, whose techniques could be used and combined to generalise these results. An important feature of the proposal is that it has strong interactions and applications in both combinatorics and probability theory.

Escape probabilities: If the weights on the step-set sum to 1, then the model is naturally associated to a random walks model, where the weight on each step gives the probability of taking that step. Then the limit of w_n as n approaches infinity is called the escape probability, as it is the probability that a random walk stays within the cone.

The paper [Hoang, Raschel, Tarrago, 2023] gives explicit formulae for the escape probability for certain two-dimensional models called singular. By definition, these models are such that the support of the step set S is contained in a linear half-space. Singular models were introduced in the work of Mishna and Rechnitzer [Mishna, Rechnitzer, 2009].

One of the aims of this thesis will be to attack the same problem in dimension 3, namely to study the escape probability of three-dimensional singular random walks. Such models are remarkably challenging to study. Conceptually, to understand the dimension 3 is to understand the general dimension.

Refined asymptotics in the quarter plane: Using coupling with Brownian motion, Denisov and Wachtel have determined the asymptotics up to the constant term in many cases [Denisov, Wachtel, 2015], in particular they have determined the asymptotics behaviour of w_n for walks with drift 0 and the asymptotics of w_n(x_0,x_0) in all cases for x_0 fixed. Nonetheless several such questions remain open, such as the asymptotics of w_n in certain cases with drift.

We propose using a different method in development [Elvey Price, Fang, Wallner, 2021] to determine refined, uniform asymptotics of w_n(x_0,x_1). The first step would be to determine an asymptotic estimate W_n(x_0,x_1) for the numbers w_n(x_0,x_1), then use a random walk to approximate the ratio between W_n and w_n, and prove that they converge uniformly to 1 as n approaches infinity.

Complete asymptotics for walks with small steps: One can go beyond the first order asymptotics and ask for complete asymptotics, for example
w_n=u^n*n^k(c_0+c_1/n+c_2/n^2+...+c_k/n^k +o(1/n^k)).
For certain models the complete asymptotics take exactly this form [Melczer, Wilson, 2019], however in other cases it has been shown that logarithmic terms appear [Elvey Price, Nessmann, Raschel, 2024]. The latter result was via an exact solution to the model using the Jacobi theta function.

One of the aims of the thesis is to extend this to all walks with small steps in order to determine exactly which models admit logarithmic terms in their asymptotics.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Financement d'une collectivité locale ou territoriale

Université de Tours

551 Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes - MIPTIS

.Master en mathématiques appliquées ou fondamentales .Une aptitude au travail en équipe est attendue .Une bonne connaissance de l'anglais est demandée
.Master in applied or pure mathematics .An ability to work within a team is expected .A good knowledge of English is required