Polyèdres involutifs: polytopes d'épaisseur constant, matroides et noeuds // Involutif polyhedra: polytopes of constant width, matroids and knots

L'objectif principal est d'étudier les polyèdres auto-duaux involutifs d'un point de vue géométrique,
algébrique et topologique.

Un isomorphisme des polyèdres est un isomorphisme des graphes associés qui préserve
chaînes et faces. Un polyèdre P est auto-dual s'il existe un isomorphisme de polyèdres entre P et son dual P*, en plus, P est involutifs si cette isomorphisme est involutif (renverse le treillis de faces).

Le projet de cette thèse vise à comprendre et à exploiter les propriétés algébriques (groupes de Coxeter associés) combinatoires (dualité des graphes) des ces polyèdres. Nos sommes particulièrement intéressé en trois directions:
1) Les méthodes de construction de
polyèdres d'épaisseur constant (une surface d'épaisseur constante est une surface convexe
dont l'épaisseur, mesurée par la distance entre deux plans parallèles qui lui sont tangents,
est la même quelle que soit l'orientation de ces plans).
2) L'application en théorie des noeuds, en particulier, étudier d'invariants des noeuds projectifs, noeuds symmétriques, etc.
3) Generalisation de cette notion en dimension plus grand en utilisant la théorie des matroides.
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The main goal is to study involutive self-dual polyhedra from a geometric, algebraic, and topological perspective.

A polyhedra isomorphism is an isomorphism of the associated graphs that preserves chains and faces. A polyhedron P is self-dual if there exists a polyhedral isomorphism between P and its dual P*. Furthermore, P is involutive if this isomorphism is involutive (reverses the face lattice).

This thesis aims to understand and exploit the algebraic (associated Coxeter groups) and combinatorial (graph duality) properties of these polyhedra. We are particularly interested in three directions:
1) Methods for constructing polyhedra of constant thickness (a surface of constant thickness is a convex surface whose thickness, measured by the distance between two parallel planes tangent to it, is the same regardless of the orientation of these planes).
2) Applications to knot theory, in particular, to investigate invariants of projective knots, symmetric knots, etc.
3) Generalization of this notion to higher dimensions by using matroid theory.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Contrat doctoral

Concours pour un contrat doctoral

Université de Montpellier

166 I2S - Information, Structures, Systèmes

Le/la candidat-e devra être titulaire d'un diplôme de master en Mathématiques. Des compétences en géométrie convexe et discrètes et /ou nœuds seront un plus. Des compétences en informatique et une expérience en langage de programmation seront fortement appréciées. Il/elle devra surtout se montrer motivé.e par la perspective de mener une activité de recherche théorique mais aussi expérimentale et doté.e d'une grande curiosité ainsi que d'une volonté d'acquérir de nouveaux savoirs aux interfaces entre différents disciplines. L'autonomie, la prise d'initiative seront particulièrement utile.
The candidate must hold a master's degree in mathematics. Skills in convex and discrete geometry and/or knots would be a plus. Computer skills and experience with programming languages ​​would be highly desirable. Above all, they must be motivated by the prospect of conducting theoretical and experimental research, having a keen curiosity and a desire to acquire new knowledge at the interface between different disciplines. Autonomy and initiative will be particularly useful.