D-MODULES RÉGULIERS-SINGULIERS EN CARACTÉRISTIQUE POSITIVE ET MIXTE // REGULAR-SINGULAR D-MODULES IN POSITIVE AND MIXED CHARACTERISTIC.

Un résultat classique et fondamental, dû à Riemann lui-même, dans la théorie des EDOs dans le domaine complexe énonce qu'une équation différentielle linéaire d'ordre deux sur $\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\} $ est entièrement déterminé par son comportement ``sur les singularités'' $\{0,1,\infty\}$ une fois l'imposition de régularité faite. Un analogue des EDO dans $\mathbb{P}^1$, en géométrie algébrique de caractéristique positive, est le concept de $\mathcal D$-modules $\mathcal{O}$-cohérent, où $\mathcal D$ est l'anneau des opérateurs différentiels d'EGA IV. Ce projet souhaite étudier ces équations et, en passant, explorer les généralités entre la théorie des modules ${\mathcal D}$ en caractéristique positive et mixte ainsi que leurs groupes de Galois différentiels associés.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A classical and fundamental result, due to Riemann himself, in the theory of ODEs in the complex domain states that a linear differential equations of order two on $\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$ is entirely determined by its behaviour ``on the singularities'' $\{0,1,\infty\}$ once the imposition of regularity is made. One analogue of ODEs in $\\mathbb{P}^1$, in algebraic geometry of positive characteristic, is the concept of $\mathcal{O}$-coherent $\mathcal D$-modules, where $\mathcal D$ is the ring of differential operators of EGA IV. This project wishes to investigate these equations and, in doing so, explore generalities between the theory of ${\mathcal D}$-modules in positive and mixed characteristic as well as their associated differential Galois groups.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Début de la thèse : 01/09/2025

Contrat doctoral

Concours pour un contrat doctoral

Université de Montpellier

166 I2S - Information, Structures, Systèmes

Bonne bases de géométrie algébrique. Bonne bases en Analyse complexe.
Solid knowledge of scheme-theoretic algebraic geometry and complex analysis.