Intersection algébrique sur les surfaces de translation et les surfaces hyperboliques // Algebraic interaction strength on translation surfaces and hyperbolic surfaces

On considère une surface fermée $M$, c'est à dire une variété différentiable de dimension 2, compacte, sans bord. On suppose de plus $M$ orientée, c'est à dire qu'on peut y définir la gauche et la droite. On peut alors calculer l'intersection algébrique de deux courbes fermées $\alpha$ et $\beta$ tracées sur $M$ : on compte simplement les points d'intersection de $\alpha$ et $\beta$, avec un signe $+$ si au point considéré $\alpha$ traverse $\beta$ de la gauche vers la droite, et un signe $-$, sinon. Le premier fait remarquable de cette théorie est que l'intersection définit une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée, notée $\mbox{Int}(.,.)$ sur le premier groupe d'homologie de $M$. A partir de maintenant nous supposons que la surface $M$ est munie d'une métrique riemannienne $g$.

La question que nous nous posons est la suivante : imaginons qu'étant données deux courbes fermées $\alpha$ et $\beta$ tracées sur $M$, on gagne 1 franc pour chaque intersection avec un signe +, on perd un franc pour chaque intersection avec un signe $-$, et comme il faut bien payer l'essence, on dépense 1 centime par mètre parcouru sur $\alpha$, par mètre parcouru sur $\beta$. On se demande alors si l'affaire est rentable. En d'autres termes, on cherche à évaluer la quantité
\[
K(M,g)= \sup_{\alpha,\beta}\frac{\mbox{Int}(\alpha,\beta)}{l(\alpha)l(\beta)}.
\]
L'affaire est rentable si $K(M,g) >0$. Il est clair que c'est le cas car en échangeant si besoin est les places de $\alpha$ et $\beta$ on peut obtenir
$\mbox{Int}(\alpha,\beta)>0$. Ensuite on peut se demander si $K(M,g) < +\infty$, autrement dit, s'il y a une rentabilité maximale théorique. On peut voir que c'est le cas, en interprétant $K(M,g)$ comme la norme de la forme bilinéaire $\mbox{Int}(.,.)$, relativement à une norme sur l'homologie de $M$, qui mesure en quelque sorte la longueur d'une classe d'homologie pour la métrique $g$.

Dans l'article [Massart-Muetzel '14] on étudie le comportement de $K(M,g)$, vu comme fonction sur l'espace des modules des surfaces hyperboliques de genre fixé. L'article [Massart-Muetzel '14] se concentre sur le comportement à l'infini dans l'espace des modules, et montre en particulier que $K(M,g)$ n'a pas de maximum sur l'espace des modules. Un but, parmi d'autres, de la présente thèse est de rechercher l'éventuel minimum de $K(M,g)$, dans le cas particulier des surfaces de translation, et des surfaces hyperboliques, de genre $2$.
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We consider a closed surface 𝑀, that is, a 2-dimensional differentiable manifold, compact and without boundary. Moreover, we assume that 𝑀 is oriented, meaning that one can define left and right on it. We can then calculate the algebraic intersection of two closed curves
𝛼 and 𝛽 drawn on 𝑀: we simply count the intersection points of 𝛼 and 𝛽, with a positive sign if at the considered point 𝛼 crosses 𝛽 from left to right, and a negative sign otherwise. The first remarkable fact of this theory is that the intersection defines a non-degenerate antisymmetric bilinear form, denoted
Int(.,.), on the first homology group of 𝑀. From now on, we assume that the surface 𝑀 is equipped with a Riemannian metric 𝑔.

The question we ask is as follows: imagine that, given two closed curves 𝛼 and 𝛽 drawn on 𝑀, one earns 1 euro for each intersection with a positive sign, loses 1 euro for each intersection with a negative sign, and, since one has to pay for gas, spends 1 cent per meter traveled on 𝛼 and per meter traveled on 𝛽. We then wonder if the deal is profitable. In other words, we seek to evaluate the quantity
𝐾(𝑀,𝑔)=sup⁡_𝛼,𝛽 Int(𝛼,𝛽) / 𝑙(𝛼)𝑙(𝛽), which we call algebraic interaction strength after [Torkaman '23] and [Jiang-Pan, '24].

The deal is profitable if 𝐾(𝑀,𝑔)>0. It is clear that this is the case because by swapping the roles of 𝛼 and 𝛽 if necessary, one can achieve
Int(𝛼,𝛽)>0. Next, one might ask if 𝐾(𝑀,𝑔)<+∞, in other words, if there is a theoretical maximum profitability. It can be shown that this is indeed the case by interpreting 𝐾(𝑀,𝑔) as the norm of the bilinear form Int(.,.), with respect to a norm on the homology of 𝑀, which roughly measures the length of a homology class for the metric 𝑔.

In the article [Massart-Muetzel '14], the behavior of 𝐾(𝑀,𝑔) is studied as a function on the moduli space of hyperbolic surfaces of fixed genus. The article [Massart-Muetzel '14] focuses on the behavior at infinity in the moduli space, and in particular shows that 𝐾(𝑀,𝑔) does not have a maximum on the moduli space. One goal, among others, of this thesis is to investigate the potential minimum of 𝐾(𝑀,𝑔), in the special case of translation surfaces and hyperbolic surfaces of genus 2.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Contrat doctoral

Concours pour un contrat doctoral

Université de Montpellier

166 I2S - Information, Structures, Systèmes

Etudiant de M2 spécialisé en géométrie/systèmes dynamiques. Solides bases en dynamique de Teichmüller et surfaces de translation. Base de géométrie hyperbolique.
Master degree with emphasis on geometry/dynamical systems. Good understanding of Teichmüller dynamics and translation surfaces. Some knowledge of hyperbolic geometry.